Одуванчики и их свойства

Для доказательства правила 5 0 воспользуемся тождеством
х=а logaх , откуда (х) р =(а logaх ) р = а plogaх . Следовательно, по определению loga x p = p loga x

Логарифмы и их свойства

Это уравнение не имеет решений при b ≤ 0 и имеет единственный корень в случае b> 0. Это корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают logab, т.е.

Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Пример 2. Найдем логарифм числа по основанию .

Заметим, что () -4 =. Поэтому по определению логарифма log =-4.

Пример 3. Найдем х, такое, что: а) log8 х= ; б) logх 8=- .

б) х logх8 = 8, т.е. = 8, откуда х = = .

Основные свойства логарифмов. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

= = а logaх- logaу ,

Для доказательства правила 5 0 воспользуемся тождеством
х=а logaх , откуда (х) р =(а logaх ) р = а plogaх . Следовательно, по определению loga x p = p loga x

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Докажем, например, формулу перехода от одного основания к другому основанию:

С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg, а с натуральными логарифмами вы познакомитесь в п. 41).

Пользуясь калькулятором (или таблицами), находим lg 7≈0,8451, lg 0,3≈ ≈ 0,4771 – 1= -0,5229. Следовательно, по формуле перехода log0,37≈ ≈ ≈ -1,6162.

Пример 6. Выразим логарифм выражения 8а 3
через log2а и log2b. (Коротко говорят: прологарифмируем данное выражение по основанию 2).

log2(8а 3
) = log2(2 3 *а 3 *
) = 3 log22 + 3 log2а + log2b = 3 +3 log2а + log2b.

log5х = log57 + log53 2 – log52 3 = log5
= log5 ,

т.е. log5х = log5 и потому х =
=
7,875.

Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем делитель и знаменатель этой дроби: lg72– lg 9 = lg
= lg 8= 3lg2; lg28-lg7= lg
=
=lg4=2lg2. Следовательно, ==.

Для этого увеличим единицу масштаба (по сравнению с масштабом рисунка 2) в 10 раз; в этом масштабе построим график у=х 2 на отрезке [0,5; 1,5] (рис. 3). Затем, увеличивая масштаб еще в 10 раз, построим график функции на отрезке [0,95; 1,05] (рис.3). На этом рисунке хорошо видно, что при значениях, близких к 1, график функции у=х2 практически не отличается от маленького отрезка прямой у==2х—1, т. е. точки графика данной функции как бы «выстраиваются» вдоль этой прямой.

Аналогичным свойством обладает любая гладкая кривая: произвольный ее маленький участок практически не отличается от отрезка некоторой прямой l. (Интересно заметить, что графопостроители, применяемые в ЭВМ, «рисуют» графики гладких функций по точкам, проводя в каждой точке маленький отрезок.) Отметим, что для каждой точки гладкой кривой соответствующая этой точке прямая (т. е. прямая, отрезком которой мы представляем себе маленький участок кривой) вполне определена. Чтобы понять это, обратимся к следующей наглядной иллюстрации.

Допустим, мы хотим изготовить трафарет, чтобы быстро рисовать синусоиду, параболу или гиперболу и т. п. Для этого предварительно на миллиметровой бумаге строится возможно точнее график этой кривой. Как вы можете убедиться, с помощью ножниц удается аккуратно вырезать трафарет, граница которого — нужная нам кривая. Положение ножниц в каждой точке (а оно и задает искомую прямую в этой точке) вполне определено: любое отклонение ножниц в ходе разрезания от этого положения приводит либо к появлению выступа, либо к прорезу трафарета.

Проходящую через точку (x0; f (х0)) прямую, с отрезком которой практически сливается график функции при значениях х, близких к x0, называют касательной к графику функции f в точке (x0; f (х0)). Возникает естественная задача: определить точное положение касательной к графику данной функции f в заданной точке.

В качестве примера рассмотрим функцию у=х 2 . Ее график в малой окрестности точки x0 близок к отрезку касательной f. Поэтому естественно ожидать, что угловые коэффициенты секущих, проходящих через точки (x0; х 2 0> и (х0+Δх; (х0+Δх ) 2 , будут близки к угловому коэффициенту k, если Δх: будет неограниченно приближаться к нулю (т. е. точка х приближается к x0).

Угловой коэффициент k (Δх) секущей, проходящей через точки (х0; у(х0)) и (х0+Δх; у(х0+Δх)), равен (п. 12), где Δу — приращение функции у в точке x0, соответствующее приращению Δx аргумента. Для функции у=х 2

k(Δх) = = = =2x0+ Δх

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, остается выяснить, к какому значению близко k (Δx), если Δx: приближается к
нулю. Очевидно, что k (Δx)близко к 2 х0. Следовательно, при
очень малых значениях Δx угловой коэффициент секущей близок к 2 х0. При х0=1 получаем k =2. Учитывая, что искомая касательная проходит через точку (1; 1), приходим к выводу, что уравнение касательной таково: у=2х—1. К этому же выводу пришли в начале пункта из чисто наглядных соображений.

http://bukvi.ru/ekonomika/matematika/logarifmy-i-ix-svojstva.html